Introduzindo

O homem criou a geometria porque precisava medir as terras e definir o limite das propriedades, idéia que se contrapõe àquela segundo a qual a geometria é fruto da ociosidade dos sacerdotes.

Definição

Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, onde estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões, essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais, são conhecidas como: prisma, pirâmides, cone, cilindro, esfera.

Se observarmos cada figura citada acima, iremos perceber que cada uma tem a sua forma representada em algum objeto na nossa realidade, como:
Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos.
Cone: casquinha de sorvete.
Cilindro: cano PVC, canudo.
Esfera: bola de isopor, bola de futebol.

Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras espaciais.

Fonte:  http://www.brasilescola.com/matematica/geometria-espacial.htm

Prisma

Um prisma é todo poliedro formado por uma face superior e uma face inferior paralelas e congruentes (também chamadas de bases) ligadas por arestas. As laterais de um prisma são paralelogramos. A nomenclatura dos prisma é dada de acordo a forma da bases. Assim, se temos hexágonos nas bases, teremos um prisma hexagonal. O prisma pode ser classificado em reto quando suas arestas laterais são perpendiculares às bases, e oblíquo quando não são.

Classificação

Conforme a inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos:
- Reto: As arestas laterais são perpendiculares às bases (as faces laterais são retângulos);
- Oblíquo: As arestas laterais não são perpendiculares ás bases (as faces laterais são paralelogramos).

Os prismas também podem ser classificados pelo número de arestas de uma das bases:
- Prisma quadrangular reto (base com 4 arestas);
- Prisma hexagonal oblíquo (base com 6 arestas);
- Prisma pentagonal reto (base com 5 arestas).

Quando um polígono é reto e suas bases são polígonos regulares, ele é chamado de prisma regular.

Área da superfície total do prisma reto:

A área da superfície total do prisma reto é calculada pela soma das áreas das superfícies das bases com a área da superfície lateral.

Volume do prisma reto:

O volume do prisma é calculado pelo produto da área da base pela altura:

Paralelepípedo:

Paralelepípedos são prismas que têm paralelogramo como base.
- Paralelepípedo retângulo (as seis faces são retãngulos);
- Hexaedro regular ou cubo (as seis faces são quadrados).

Diagonal do paralelepípedo retângulo:

A medida d da diagonal do paralelepípedo é dada por:

Cubo:

O cubo é um prisma regular limitado por 6 quadrados congruentes.
A área total de um cubo de aresta a é dada pela área dos 6 quadrados de aresta a:
O volume de um cubo de aresta a é dado pelo produto da altura (aresta) pela área da base (face):
Como o cubo é um prisma retangular, a diagonal de um cubo de aresta a é:

Vídeo explicativo:

Cilindro

Um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados.

Classificação:

O cilindro circular pode ser classificado como oblíquo ou reto, conforme a posição de uma geratriz em relação aos planos das bases.
- Cilindro circular oblíquo: As geratrizes são oblíquas à base;
- Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares à base.

Cilindro circular reto:

Cilindro circular reto ou de revolução é um sólido gerado pela rotação de 360° de uum retângulo em torno de um eixo que comtém um de seus lados.

- No cilindro circular reto a medida da geratriz é igual à altura.

Área da base de um cilindro reto:

As bases são circulares. Portanto:

Área da superfpicie lateral de um cilindro reto:

A área da superfície lateral pode ser igual à área de um retângulo. Assim:

Área da superfície total:

A superfície total compreende a superfície da base e a suprefície lateral. Logo:

 Volume de um cilindro:

O volume de um cilindro é determinado pelo produto da área da base pela medida da altura:

Vídeo expicativo:

Cone

Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base).

Classificação:

O cone circular pode ser classificado como oblíquo ou reto, conforme a posição da reta que une o vértice ao centro da base.

- Cone circular oblíquo: Traçanco-se uma reta VO, seria oblíqua à base;
- Cone circular reto: VO é perpendicular à base.

Cone circular reto:

Cone circular reto ou de revolução é um sólido gerado pela rotação de 360° de um triângulo retângulo, em torno de um eixo que contém um de seus catetos.

Portanto:

g² = h² + r²

- No cone reto, as geratrizes são congruentes.

Área da base de um cone reto:

A base é circular. Portanto:

Área da superfície lateral de um cone:

A área da superfície lateral pode ser igual à área de um setor circular:

 

Área da superfície total:

A superfície total compreende a base e a superfície lateral. Assim:

At = Ab + Al

Volume de um cone:

O volume do cone circular é determinado por 1/3 do produto entre a área da base e a altura.

Vídeo explicativo:

Pirâmide

Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base.

Uma pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas laterais são conguentes, caso contrário ela é classificada como oblíqua.  

Uma maneira mais fácil de identificar uma pirâmide reta é quanto o centro da base da pirâmide está alinhado com o vértice superior da pirâmide, em outras palavras, é possível traçar uma reta do vértice ao centro do polígono na base da pirâmide. Uma outra maneira fácil de identificar uma pirâmide oblíqua é quando não existe esse alinhamento do vértice superior com o centro do polígono na base da pirâmide, ou seja, se traçarmos novamente a reta, ela não terminará no centro do polígono da base.

Classificação:

Uma pirâmide é regular quando a sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano de base coincide com o centro O da base ( centro das circunferências inscrita e circunscrita).
Além disso, as pirâmides podem ser classificadas pelo número de arestas da base:
- Pirâmide triangular regular ( a base é um triângulo equilátero);
- Pirâmide quadrangular regular (a base é um quadrado);
- Pirânmide pentagonal regular ( a base é um pentágono regular).

 Uma pirâmide de base triangular, portanto com quatro faces triangulares, é chamada tetraedro. Esse tetraedro é consideado regular quando s quatro faces são triângulos equiláteros.


Área da superfície total da pirâmide regular:

A área da superfície total da pirâmide é calculada pela soma da área da superfície da base com a área da superfície lateral:

Volume da pirâmide:

O volume da pirâmide corresponde a 1/3 do produto da área da base pela altura:

 

 Vídeo explicativo:

Esfera

Esfera é um sólido gerado pela rotação de 360º de um semi-círculo em torno de um eixo que contém o seu diâmetro.

Superfície esférica é uma figura gerada pela rotação de 360º de uma semi-circunferência em torno de um eixo que contém o seu diâmetro.

Área da superfície esférica:

A área da superfície esférica de raio r é definida por:

Volume da esfera:

O volume da esfera de raio r é definido por:

Vídeo explicativo: